Mikä on Fibonacci-sekvenssi? Miksi se on niin erikoista?

NYSTV Los Angeles- The City of Fallen Angels: The Hidden Mystery of Hollywood Stars - Multi Language (Kesäkuu 2019).

Anonim

Matematiikka on mallien tutkimista. Vaikka kaikki mallit pyrkivät noudattamaan tiukkoja logiikan sääntöjä, vain muutama niistä edistää luovuutta. Minusta on järjetöntä, kuinka yksi, yhden tuuman yhtälö voi hetkessä omistaa kätesi ja johtaa sinut vetämään hienoimmat luvut. On huomattavaa, kuinka näitä monimutkaisia ​​lukuja voidaan vähentää kolmeen symboliin ja kahteen rinnakkaiseen linjaan. Käytän termiä hallussa, koska tällä hetkellä sokeasti, mitä yhtälöt käsittelevät ja luotamme profetiaan, alamme merkitä pisteitä, jotka alussa näyttävät irrallisilta.

Jatkamme kuitenkin edelleen hyväksyntää. Työkalujen kitara ja hämmentävä hallitsija kieltäytyvät nousta, kunnes paperiin kohdistuva vaikutelma on lähinnä kokoelma ääretön pisteitä. mustat pisteet, jotka lyödä lyijykynällä ja kompassin peittävät valkoiset pisteet. Ääretön pisteet lukkiutuvat nopeasti ja tottelevaisesti kohdistuvat aivan kuten logiikka vaatii heitä. Vaikka minimalistiset herkut ympyrässä, abstractionist nauttii polyhedronista.

Sitten on numeerisia kuvioita, järjestys numeroista, jotka toistetaan säännöllisesti. Ihmiset ovat luonnostaan ​​kuvioita etsiviä olentoja. Itse asiassa olemme niin taitavia yhdistää pisteitä, että nämä mallit eivät ole yksinomaan pisteitä, vaan ne ulottuvat myös konteksteihin. Kuvion tai kuvion ulkonäkö pörillä tai hyveellä korreloi näiden kahden esiintymisen kanssa. He ovat olleet kulttuurien liikkeellepaneva voima lukuisissa yhteiskunnissa.

Illuminati-symboli ja Wow! signaali (Kuva: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

On jumalallinen elementti, jonka ihmiset ovat pitkään yhteydessä tiettyihin lukuihin ja ryhmiin, kuten Illuminatiin . Toisaalta tutkijat ja matemaatikot mieluummin yhdistää älyllisen mysteerin muodon tällaisiin malleihin. Harkitse Wow! Signaali, aakkoset, jotka saatiin odottamattomasti Oilin Big Ear -radelopuhelimen lukujen joukossa, viitaten maan ulkopuoliseen toimintaan.

Kuitenkin on olemassa myös numeerinen luku, joka ei vain pelkää mysteeriä vaan pyhyyttä, sillä se syntyy paikoissa, joita ei koskaan odoteta. Tarkastele tätä mallia - 13-3-2-21-1-1-8-5 - jonka murhaama museokursori Jacques Saunière vetää Tom Hanksin vihjeeksi Da Vinci -koodissa .

Fibonacci-numerot

Leonardo Pisano, tunnetaan yleisesti nimellä Fibonacci. (Kuva: Dr. Manuel Saksan Wikipediassa / Wikimedia Commons)

Fibonacci oli hämmästyttävän kiehtonut hindu-arabialainen matematiikka. Eurooppalaiset tuolloin käyttivät edelleen laajaa romanilukujen sarjaa, kun taas hindut ja arabit olivat nauttineet sukupolvien hindu-arabialaisen numerojärjestelmän - Base-10 numeroiden välillä 0-9 - hyveistä. Hän päätti tuoda nämä ideat Eurooppaan julkaisemalla heidät hänen arvostetulla teoksessaan Liber Abaci.

Kirja tuli legenda. Kuitenkin sen suosio väheni lopulta vain kahteen maksuosuuteen: ensinnäkin numerojärjestelmä, jota ilman modernin matematiikan edistysaskeleet ei olisi ollut mahdollista; ja toisaalta hypoteettinen, epärealistinen ongelma kanien jalostuksesta. Fibonacci-numerot esittelivät ensimmäisenä ratkaisuna tähän ongelmaan.

Salaperäiset Fibonacci-numerot

Jono voidaan jakaa millä tahansa numerolla tällaisen syklisen kuvion saamiseksi. Esimerkiksi, kun numerot on jaettu 7: llä, syntyy 16 numeroa. Samoin kauden pituus on 20, kun jakaja on 5. Jopa jakamalla 1/3 tuloksena on pitkä toisto, joka toistuu, identtiset katkelmat. Matemaatikot eivät kuitenkaan ole löytäneet yleistä kaavaa, joka ennustaa yhden jakson pituuden, kun sekvenssi jakautuu tiettyyn numeroon.

Toinen kauhistuttava hämmennys on ääretön oikean ankkuroitu kolmio, joka on piilotettu sekvenssissä. Alkaen 5, jokainen sekvenssin toinen numero on oikean kulmakappaleen hypotenuus, jonka pitempi puoli on edellisen kolmion kaikkien sivujen summa ja lyhyempi puoli on ero ohitetun luvun ja edellisen kolmio. Kuvallinen selitys auttaa näitä kolmioita ymmärtämään paremmin.

Mikä tämä noituus on?

Abstraktin matematiikan hyödyllisyys on keskustelun ensisijainen väite, jossa kyseenalaistetaan, onko matematiikkaa keksitty tai keksitty. On olemassa teorioita, jotka havainnollistavat matemaattisen nero ja tiukkuuden korkeimman tason, mutta ovat täysin erillään todellisesta maailmasta. Esimerkiksi Newton keksi lasku erityisesti määritettäessä matkaa, jonka maapallo seurasi auringon ympärillä. Tietenkin kalkki osoittautui tuottoisaksi myös monilla muilla aloilla, mutta voimme sanoa saman asian Riemannin hypoteesista ?

Kuitenkin on olemassa harvinaisia ​​tapauksia, joissa erittäin esoteerinen abstrakti matematiikka tulee sovellettavaksi. Esimerkiksi Riemann kehitti absurdit kaarimaisen geometrian käsitteitä 1850-luvulla, mikä tuntui siltä, ​​ettei Einstein käyttänyt heitä etsimään uudelleen gravitaatiota suhteellisen yleisen teoriansa suhteen . Näiden matemaattisten avioliittojen arvaamattomuus silti häiritsee meitä.

Näin on myös Fibonacci-lukujen mystinen luonne. Huolimatta siitä, että niitä on löydetty keskiajalla, ne on löydetty ja paljastettu kaikkiin hämmentyneisiin paikkoihin, joita emme koskaan odottaneet. Fibonacci-numeroidemme kiehtovuus ulottuu niin pitkälle, että koko aikakauslehti on omistettu sen erityispiirteille, joita kutsutaan nimellä Fibonacci Quarterly.

Harkitse Pascalin kolmio. Kun Pascal oli kuullut uhkapelaa kertoimesta kuoleman tulosten ja panosten luonteesta, hän keksi todennäköisyyden teorian näiden ongelmien ratkaisemiseksi. Pascalin kolmio on siisti kolmio, joka muodostuu binomiakertoimista. Kolmiosasto toimii taulukona, johon viitataan samalla kun laajennetaan binomi-yhtälöä.

Pascalin kolmio. (Kuva: RDBury / Wikimedia Commons)

Kuitenkin, jos haluat piirtää kolmiota alaspäin kulkevia diagonaaleja ja summaamaan kunkin yksittäisen diagonaalin numerot, niin sarjanumerot, jotka ovat yhteneväinä kunkin diagonaalin kanssa, edustavat Fibonacci-lukuja, kuten olette arvottaneet. Todennäköisyysteoria perustettiin 400 vuotta Liber Abacin julkaisemisen jälkeen.

Tai harkitse Mandelbrot-sarjaa, matemaattista funktiota, jota voidaan loitsata kauniilla kaavilla, jotka on piirretty monimutkaiseen tasoon. Kaavio näyttää olevan sydämenmuotoinen lehti, jonka reunat ovat pienet silmut. Nämä silmut ovat täynnä uskomattoman ohuita piikkejä. Kaavio esittää fraktaalia, joka koostuu jokaisesta yksittäisestä osasta . Mikä tarkoittaa, että jos haluat jatkaa zoomaamista, huomaat, että rakenne katoaa loputtomassa silmukassa.

Mandelbrot asettaa kaavioita. (Kuva: Wolfgang Beyer ohjelmassa Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

Kun lähennämme silmukoiden reunoja, näemme, että pupu suurenee alkuperäiseen lehtiin ja kolme uutta silmukkaa ilmenee sen reunoja. Jos jouduttiin jatkamaan zoomaamista, hän näki tämän kulkueen jatkuvan ja ikuisesti. Kuitenkin, kun kurkemme syvemmälle ja syvemmälle, huomaamme, että jokaisen uuden nupun määrä kasvaa. Numeroiden lisäys jäljittelee tietyn mallin; se on Fibonacci-sekvenssi! Kuka olisi voinut ennustaa tämän?

Sekvenssi näkyy myös taloudessa ja jäljittää miespuolisten mehiläisten sukutaulu. Sitä käytetään laajasti tietotekniikassa, jossa sitä käytetään tuottamaan havaittavasti satunnaisia ​​numeroita algoritmeilla nimeltä Pseudorandom Number Generators. Käytän havaittavasti, koska syntyneet numerot eivät ole todellisia satunnaisia; ne riippuvat aina edellisestä syötteestä.

Sitä käytetään myös lajittelualgoritmeissa, joissa alue jakautuu mittasuhteisiin, jotka ovat kaksi peräkkäistä Fibonacci-numeroa, eikä kaksi yhtä suurta osaa. Tämä tekee sijainnin metsästyksen alas yksinkertaisimmille matemaattisille toiminnoille - lisäykselle ja vähennykselle. Binaarinen lajittelu (jakautuminen kahteen samaan osaan) edellyttää moninkertaistumista, jakamista ja bittivaihtoa. Sekvenssiä käytetään myös erilaisten muiden tärkeiden matemaattisten identiteettien tuottamiseen. Kuitenkin sen tärkein sovellus löytyy puutarhoistamme.

Fibonacci Spiral

Parthenon. (Valokuvan myöntäjä: Flickr)

Kreikkalaiset lopulta löysivät tämän olemuksen. Heidän mukaansa kaunein tapa jakaa viiva kahteen osaan on jakaa ne suhteessa sellaiseen, että pidempi osa jaettuna lyhyemmällä osalla on yhtä suuri kuin koko jaettuna pidemmällä osalla. He kutsuivat tämän Golden Ratio, ja sen arvo on 1.618

.

Niinpä he perustivat taiteensa ja arkkitehtuurinsa tähän suhteeseen. Esimerkki on Parthenonin arkkitehtuuri , jonka puolet ovat kultaisessa suhteessa. Jopa renessanssin taiteilijat olivat keskenään keskenään tämän suhteen käytössä. Runsaasti heidän taidettaan tukeutuu suhdetta täydentää sen esteettinen valittaa.

Mitä tämä arvokas suhde liittyy Fibonacci-numeroihin? Kepler havaitsi kerran, että "5: stä 8: stä 8: stä 13: een, ja 8: stä 13: een, niin on melkein 13-21." Kahden peräkkäisen Fibonacci-numeron suhde on suunnilleen yhtä suuri kuin * alkava hidas taputus * kultainen leikkaus! Tämä yhdistää Fibonacci-numerot yhteen tunnetuimmista spiraaleista Internetissä.

Fibonacci-numeroiden neliöt voidaan kirjoittaa seuraavasti:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

Mikään salaperäinen? Lisätään joukko niitä yhteen:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Tutustu lähemmäksi ja huomaat, että 6 on 2 ja 3, 15 on tuote 3 ja 5 ja 40 on 5 ja 8 tuote. Fibonacci-lukujen ja kultaisen suhteen välinen vuorovaikutus tulee näkyviin - kaksi numeroa jotka muodostavat nämä tuotteet ovat peräkkäisiä Fibonacci-numeroita! Suorita yllä oleva tiivistelmä kuvitteellisesti. Jokainen neliösumma voidaan esittää neliöllä, jonka puolen on oltava sama määrä yksiköitä, jotka neliöidään.

Niinpä yhden neliön edustaa yksi yksikön neliö. Tällöin tämä neliö lisätään sekvenssin seuraavaan neliöön - toisen sivun toinen yksikkö. Seuraavaksi 1 × 2-suorakulmio lisätään sivun kaksi yksikköä olevaan neliöön, joka lisätään edelleen kolmannen puolen yksikön neliöön ja niin edelleen. Ymmärrämme, että tuotteet olivat tosiasiallisesti näiden uusiin suorakulmioalueita.

Koska tuotteet olivat peräkkäisiä Fibonacci-numeroita, voidaan havaita, että minkä tahansa yksittäisen suorakulmion kahden puolen suhde on kultainen suhde! Kun summamäärä lähestyy äärettömyyttä, vakiintuneen kasvavan suorakulmion sivujen suhde lähestyy suhteen tarkkaa arvoa. Keskiöstä peräisin oleva kaarre, joka kulkee jokaisen neliön kulmien läpi, kasvaa vähitellen spiraaliksi - kultainen kierre, joka tasaisesti poikkeaa kulmassa kulmassa kulmassa.

Kultainen kierre nautiluskuoressa (Nautilus Cutaway Logarithmic Spiral) ja männynreuna. (Kuva: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

Kultainen kierre löytyy lukemattomista paikoista luonnossa, galaksimme muodolta nautiluskuoriin. Se säätelee männynreiän ja ananaslankojen hedelmää. Suosikkini on se, että se esiintyy auringonkukan keskipisteenä siedettyjen siementen järjestelyssä. Kuitenkin käyttämällä termiä "sotku" olisi häpeilemättömästi silmällä voimakkuutta, jota luonto vietiin järjestäessään näitä siemeniä.

Auringonkukan siemenet eroavat kultaisesta kulmasta. (Kuva: Remi Jouan / Wikimedia Commons)

Siemenet eivät ole linjassa kuin pyörän pinnat; ne vähitellen vähenevät ulospäin. Kulun kulma on kultainen kulma. Vaikuttaa siltä, ​​että luonto vapaaehtoisesti valitsi tämän suhteen, koska ympyrän jakaminen irrationaalisella lukumäärältään aiheutti siementen naapurin samaan kulmaan keskeltä. Tämä johti erittäin tehokkaaseen pakkaukseen jättäen melkein tilaa negatiiviselle tilalle. Spiraalien määrä, kysyt? 55 yhdestä suunnasta, 89 toisessa suunnassa. Molemmat Fibonacci-numerot tietenkin!